常微分方程模型

引言：

常微分方程（Ordinary Differential Equations，ODEs）模型是描述自然、工程和社会科学中许多动态系统行为的数学模型。常微分方程模型包含一个或多个未知函数及其导数，用于描述系统中的变化和相互作用。本文将介绍如何使用常微分方程去解决追逐问题和最速降线问题。

1 追逐问题

  • 一商船与一海盗船从不同的地点同时出发，两船可实时观测到对方的位置。
  • 两船均沿直线航行，海盗船在确定航行方向前可观测到商船的航行方向。
  • 两船在航行过程中保持速度不变，海盗船的速度是商船的倍 我们需要解决的问题时，商船能否逃离海盗船的追逐

建立数学模型，以海盗船初始位置为原点，商船初始位置为,建立直角坐标系

  • 若在某一时刻，海盗船与商船位于同一地点,那么根据速度与路程的公式可以得到，即： 根据上式可以得出的轨迹为圆 那么设A轨迹的圆心为,半径为的圆C 下面我们尝试在直角坐标系中表示这个圆，因为圆心的位置是不确定的，这取决于的大小。 根据的正负，对其进行分类讨论

  • 若，那么，

    • 点O在圆C外，M在圆C内，在这种情况下， 不论商船以何方向航行，海盗船均能在一定时间后与商船相遇。

  • 若，,

    • 此时M在圆C外，O在圆C内。
    • 这时我们令，当商船航向与商船和海盗船连线的夹角不超过时，海盗船均能在一定时间后与商船相遇

下面升级一下条件：

  • 一商船与一海盗船从不同地点同时出发，两船可实时观测到对方的位置
  • 商船沿直线航行，航向垂直于链接商船于海盗船初始位置的直线。在任意时刻，海盗船的航行方向为链接商船与海盗船此时位置的直线的方向。
  • 商船和海盗船的速率分别为和，，两船在航行过程中保持速率不变。
  • 求海盗船在与商船相遇前的航行轨迹

同样的，以海盗船的起始位置为原点，商船的初始位置为建立直角坐标系，设海盗船与商船相遇前的轨迹为函数的图形

这里我们引入时间维度，即时刻, 因商船航行的方向是确定的，所以我们可以用去表示任意时刻两船的位置： 也可以理解为我们将的方程转化为了以t为参数的参数方程 - 连接海盗船与商船当前位置的直线斜率为 - 切线方程为 根据第一类曲线积分的公式，海盗船的轨迹自原点至的弧长为： > 这里的表示速率，表示行驶的总距离

根据上述切线方程，我们也可以得到一个关于t的式子，将两式联立： 解，两边同时对求导

根据将原式化为： > 根据

对两边同时积分： 这时我们将r移上去，负号移到左边，分母有理化可得： 将-r看成一个整体，移上去，可得： 联立（1）（2）式子，解得 两边同时积分，解得

2 最速降线问题

  • 最速降线
    • 给定垂直平面上的两点,一质点以何路径从运动到，可使运动时间最短
2.1 直线下降
  • 给定垂直平面上两点,一质点沿连接的直线轨道从运动到,求质点的运动时间

我们设时刻质点位位于,速率为,方向与平行，垂直方向速度分量的大小为

  • 质点下降的过程中势能全部转化为动能，有 由题意可知 根据物理学知识易得： 当时，有:
2.2 圆弧下降
  • 一质点沿圆心为,半径为的圆弧轨道从运动到,求该质点的运动时间 设质点开始运动时刻为,时刻质点所在位置x轴夹角为，速率为 可以得到,时刻，质点的纵坐标为,质点运动过的距离为

由能量守恒定律得：

两边对求导 化简得： , 两边同时对进行积分得: 后面的积分值约等于 求得：

2.3 光的折射与最速降线

在介绍最速降线的问题之前，先研究一下光的折射问题。

  • 光的折射

    • 折射率：标志介质的光学性质的量，折射率为的介质中的光速为，其中为真空中光的传播速度

  • 定律：，C为常数

  • 原理

    • 光沿着所需时间最短的路径从一点传播到另一点

  • 定律

    • 设光在点所在介质中的传播速度分别为，与两介质交界面的垂直距离分别为,间的水平距离为

    现在设光经过交界面上与水平距离为的点，光传播所需时间为： 对x求导得：(因为匀速运动，所以导数为0) 根据各种数值关系化简得:

  • 最速降线

将平行于轴的直线视作折射率逐渐减小的不同介质的分界面，由原理可知，质点从到的最短路径满足定律

现在设质点经过时，速度大小为,方向与轴正向夹角为 设轨迹为，根据弧微分和导数的性质我们可以得到： 其中是在处光在上界面的速度是光在下界面的速度

整理上式，得到: 进一步整理: 变成微分方程的形式： 已知： 易得； 两边同时进行积分得: 整理得：